コウ磁束ジソク (GMDとGMR)
三度ミタビコウ磁束ジソクハナシです。
コウ磁束ジソクについて:パート2」では下図カズのように面積メンセキカンガえなくてはならない
導体ドウタイコウする磁束ジソクスウエン分割ブンカツして、計算ケイサンしました。
その結果ケッカ面積メンセキのある導体ドウタイ一様イチヨウナガれる電流デンリュウエン中心チュウシン集中シュウチュウして
ナガれているとカンガえてよいことがわかりました。
しかし、一般的イッパンテキにはこれをGMD【幾何キカ平均ヘイキン距離キョリ】という概念ガイネン説明セツメイがなされます。
GMDの具体グタイレイをあげてみます。
まず、テンエン面積メンセキです。これは前例ゼンレイですが、
テンPのツク磁束ジソク導体ドウタイコウする磁束ジソクスウは GMD=D に電流デンリュウ集中シュウチュウしてナガれている
場合バアイ等価トウカである。
つまり、導体ドウタイがある面積メンセキつとカナラ部分的ブブンテキコウする磁束ジソクショウじますから
その面積メンセキして、コウ磁束ジソクスウ計算ケイサンしやすくする必要ヒツヨウがあります。
ウエレイ場合バアイ半径ハンケイがどんなアタイでも GMD はテンPとエン中心チュウシンQの距離キョリ D と
なります。
ツギテン円周エンシュウです。
円周エンシュウ電流デンリュウナガれていてエン内部ナイブには電流デンリュウナガれていないトキです。
タトえば高周波コウシュウハ電流デンリュウ導体ドウタイナガれるときはこれにチカくなります。
この場合バアイも GMD=D となります。
したがって、この場合バアイテンQのところに電流デンリュウ集中シュウチュウしているとカンガえてコウ磁束ジソク
計算ケイサンできるわけです。
GMD の計算ケイサンはやや複雑フクザツですのであとにしておいて、
そのマエ GMR 幾何キカ平均ヘイキン半径ハンケイ】について説明セツメイします。
GMR 【幾何平均半径】
  架空カクウセンのインダクタンス(大地ダイチ帰路キロとするインダクタンス)において電線デンセンコウ磁束ジソク
  内部ナイブ外部ガイブそれぞれツギのように計算ケイサンされました。
無限ムゲンエンテン
外部ガイブ磁束ジソク
内部ナイブ磁束ジソク
そしてゼンコウ磁束ジソクスウ
ただし     とする
となりますが、このシキ括弧カッコナカツギのように変形ヘンケイします。
そうするとゼンコウ磁束ジソク次式ジシキシメせます。
このしきのRを GMR 【幾何平均半径】 といいます。
Rはシキ変形ヘンケイシメしたように
です。
いよいよ、GMD【幾何キカ平均ヘイキン距離キョリ】という概念ガイネンハイります。
これは何回ナンカイべたように、導体ドウタイ面積メンセキ無視ムシできないとき、(部分的ブブンテキ磁束ジソクコウ
すること)でありますので、ツギのようなカンガえます。
面積メンセキ無視ムシできない導体ドウタイ
電流デンリュウIが一様イチヨウナガれているトキ
コウ磁束ジソク計算ケイサンします
面積の無視できない導体1
面積の無視できない導体2
まず最初サイショ導体ドウタイ微小ビショウ面積メンセキ分割ブンカツします。
面積メンセキS1の微小ビショウ面積メンセキを (dS1)1, (dS1)2, (dS1)3, ・・・・・(dS1)m とします。
面積メンセキS2の微小ビショウ面積メンセキを (dS2)1, (dS2)2, (dS2)3, ・・・・・(dS2)nとします。
微小ビショウ面積メンセキカン距離キョリツギのようにします。
文字モジ
dnm ・・・・・dSnとdSmの距離キョリ カタチ注意チュウイしてください。
つまり、1, 2, 3 と 1, 2, 3
したがって(dS1)1と(dS1)mカン距離キョリはd1mとなります。 チガいです。
(dS1)1と(dS2)1カン距離キョリはd11となります。
(dS1)1と(dS2)2カン距離キョリはd12となります。
この往復オウフク導体ドウタイ電流デンリュウ I が一様イチヨウナガれているとカンガえるとそれぞれの微小ビショウ面積メンセキナガれる電流デンリュウ
導体ドウタイS1では
導体ドウタイS2では
となります。
さて、導体ドウタイS1の微小ビショウ面積メンセキ(dS1)1のゼンコウスウモトめます。
これはカク微小ビショウ面積メンセキナガれる電流デンリュウによる磁束ジソクのうち微小面積(dS1)1にコウするものをすべて
クワえる計算ケイサンです。いきなり計算ケイサンするのも大変タイヘンなのでジュンって計算ケイサンします。
最初サイショ往復オウフク導体ドウタイコウ磁束ジソク計算ケイサンから
半径ハンケイr1の導体ドウタイ1と半径ハンケイr2の導体ドウタイ2に
電流デンリュウ  i1 と i2 が往復オウフクナガれているとき、
導体ドウタイ1の u テンまでのゼンコウスウ
サキほどシメしたように ( (5)シキ参照サンショウ )
となります。ここでR1は導体ドウタイ1のGMR
です。
また、導体ドウタイ2にナガれる電流デンリュウツク磁束ジソクにおいて導体ドウタイ1とクサリコウする磁束ジソク
です。したがって、導体ドウタイ1が u テン以内イナイコウする磁束ジソク
となりますが、 uテン遠方エンポウにとれば
また 往復オウフク電流デンリュウなので
考慮コウリョすれば(8)シキダイコウがきえて、
同様ドウヨウに、導体ドウタイ2が u テン以内イナイクサリコウする磁束ジソクはそのGMRをR2として、
となります。
ツギに ホン導体ドウタイコウ磁束ジソクスウ計算ケイサンします。
u 点
上図ジョウズのように n ホン並行ヘイコウ導体ドウタイに、電流デンリュウ i1,i2, ・・・・in がナガれているとき、遠方エンポウテン u 以内イナイ
導体ドウタイ1のコウ磁束ジソクは (8)シキ同様ドウヨウ
往復オウフク電流デンリュウなので
また u テン無限ムゲンエンテンにもっていけば、
となって、ダイコウはゼロになり、結局ケッキョク、(11)シキ次式ジシキになります。
同様ドウヨウに 導体ドウタイ i のコウ磁束ジソク
これで準備ジュンビができたので微小ビショウ面積メンセキによるコウ磁束ジソクモドります。
微小ビショウ面積メンセキ分割ブンカツした再掲サイケイします。
ここで、この導体ドウタイ微小ビショウ分割ブンカツした導体ドウタイとみれば (ds1)1 のコウ磁束ジソクスウ
導体ドウタイS1に
導体ドウタイS2に
ナガれているので(12)シキ同様ドウヨウ
r1 は(dS1)1のGMRです。
(14)シキ積分セキブン形式ケイシキアラワせば
導体ドウタイ1のカク微小ビショウ面積メンセキ平均ヘイキンコウ磁束ジソクスウ
(16)シキ導体ドウタイ1のコウ磁束ジソクスウです。
同様ドウヨウ導体ドウタイ2のコウ磁束ジソクスウ
ここで、導体ドウタイ面積メンセキ無視ムシできるときと、できないときのコウ磁束ジソクスウ比較ヒカクしてみます。
面積メンセキ無視ムシしたときの導体ドウタイ1のコウ磁束ジソクは(9)シキでした。
とすれば往復オウフク電流デンリュウなので    となり、(9)シキは(18)シキとなります。
面積メンセキ無視ムシできないときの導体ドウタイ1のコウ磁束ジソクは(16)シキでした。
(16)シキと(18)シキくみてください。面積メンセキ無視ムシできないシキをを無視ムシできるシキ等価トウカにするには
とおけばよいことがわかります。
そして、この(19)シキのD12導体ドウタイ1,2の幾何学的キカガクテキ平均ヘイキン距離キョリ(GMD)とびます。
(20)シキのR幾何学的キカガクテキ半径ハンケイ(GMR)とびます。したがって、R1と D12を計算ケイサンすれば、
面積メンセキ無視ムシできない導体ドウタイ無視ムシできる導体ドウタイとしてアツカうことができるようになります。
面積 S2
面積 S1
面積の無視できない導体2
面積の無視できない導体1
半径ハンケイ,R中空チュウクウ導体ドウタイ中心チュウシン距離キョリ12導体ドウタイとして、アツカえます。
導体ドウタイ内部ナイブ電流デンリュウいから部分ブブンテキコウ磁束ジソクカンガえる必要ヒツヨウい)
それでは ツギに GMD の具体的グタイテキ計算ケイサンレイシメしましょう。
そのマエ重要ジュウヨウ定理テイリがあります。
面積メンセキ面積メンセキ,S,・・・・・SとのGMDをそれぞれD,D,・・・・・Dとすると、
面積メンセキ面積メンセキ(S+S+・・・・・S)のGMDは次式ジシキとなります。
面積 (S1+S2+・・・・・S
(21)シキ証明ショウメイはGMDについていてある電磁気デンジキ参考書サンコウショならカナラずあります。
いよいよ具体グタイレイです。
(a) 円周エンシュウ一点イチテンとのアイダのGMD
GMDをモトめるのはもちろん(19)シキ使ツカいます。
円周エンシュウ面積メンセキとして、SをPテンガワとします。
(19)シキの d はdS1とdS2カン距離キョリです。
S1は S2は面積メンセキのないテンなので
dS1を上図ジョウズのように微小ビショウカクdθで分割ブンカツすれば
これを(19)シキ代入ダイニュウすると
d を r と a でアラワせば
となり、これを(22)シキれて計算ケイサンしていくのですがチョウ技巧的ギコウテキエンザンです。
すらすらとトオして、結果ケッカだけオボえておくのがいいかとオモいます。
(22)シキ代入ダイニュウして
( )のナカシキ変形ヘンケイをします。
ただし
ここで(24)シキ一部イチブサラ変形ヘンケイします。
級数キュウスウ展開テンカイ公式コウシキ
により、β<1、 つまり、Pテンエンナイにあるときは
(27)、(28)シキを(25)シキ代入ダイニュウすると
(29)シキとなります。
また、
であるので、(29)シキ
したがって、(23)シキは(24)シキ、(31)シキ代入ダイニュウして、
ゆえにPテン円内エンナイにあるときは D12=r つまり
GMDは  r となります。
場合バアイ
幾何学的キカガクテキ平均ヘイキン距離キョリは r です。
つぎに β>1、 つまり、P点が円ソトにあるときは
とすればイマまでの計算ケイサン借用シャクヨウできます。つまり、(32)シキ利用リヨウして、
(33)シキます。
ゆえにPテン円内エンナイにあるときは D12=a つまり
GMDは  a となります。
場合バアイ
幾何学的キカガクテキ平均ヘイキン距離キョリは a です。
Pテン円周エンシュウウエにあるときは(32)シキでも、(33)シキでも GMDは r となります。
結果ケッカ半径ハンケイ r の円周エンシュウと、円周エンシュウ中心チュウシンから距離キョリ a のPテンとの
幾何学的キカガクテキ平均ヘイキン距離キョリ D は
テン円周エンシュウウエ、または円周エンシュウナイのとき、 D = r
テン円周エンシュウソトのとき、 D = a
(b) エンケイ面積メンセキ一点イチテンとのアイダのGMD
円形エンケイ面積メンセキハバ dx のエンカン
集合シュウゴウカンガえて、(21)シキ
利用リヨウします。
このシキテンPがエンガイにあるとき、スベてのエンカンとのGMDは a なので、
テンPが円内エンナイ場合バアイ省略ショウリャクします。
この(34)シキこそが
面積メンセキカンガえなくてはならない導体を鎖交する磁束数は電流を円の中心に集中して
ナガれているとカンガえてよいという結論ケツロンです。
コウ磁束ジソクパート1、パート2、パート3とツヅけてきましたが、
これで終了シュウリョウします。
わり。
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